关于角平分线定理的知识点,福建头条网将为你整理了下面这些知识。
角平分线定理是指:在一个三角形中,如果一条线段从一个角的顶点出发,且将这个角分成两个相等的角,那么这条线段就是这个角的平分线,且它将对边分成两个相等的线段。
具体来说,设三角形ABC中,角BAC的平分线交对边BC于点D,则有:
∠BAD=∠CAD∠BAD=∠CAD,即角BAC被线段AD平分;
BDDC=ABACBDDC=ABAC,即平分线AD将对边BC分成两个相等的线段。
证明:
由角平分线的定义可知,∠BAD=∠CAD∠BAD=∠CAD。
作BE⊥AC,CF⊥AB,则有:
∵∠ABE=∠ACF=90∘∵∠ABE=∠ACF=90∘,
∴△ABE∼△ACF∴△ABE∼△ACF,
∴ABAC=BECF∴ABAC=BECF。
又因为∠BAE=∠CAF∠BAE=∠CAF(角平分线的定义),
∴△ABE∼△ACF∴△ABE∼△ACF中的∠ABE=∠ACF∠ABE=∠ACF,
∴△ABE≅△ACF∴△ABE≅△ACF(两个直角三角形,有一条斜边相等,另一条直角边相等),
∴BE=CF∴BE=CF。
又因为∠BDE=∠CDF=90∘∠BDE=∠CDF=90∘(垂线定理),
∴△BDE∼△CDF∴△BDE∼△CDF,
∴BDDC=BECF=ABAC∴BDDC=BECF=ABAC。
综上所述,角平分线定理得证。