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角平分线定理

2024-04-01 21:28 阅读了

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角平分线定理

角平分线定理是指:在一个三角形中,如果一条线段从一个角的顶点出发,且将这个角分成两个相等的角,那么这条线段就是这个角的平分线,且它将对边分成两个相等的线段。

具体来说,设三角形ABC中,角BAC的平分线交对边BC于点D,则有:

∠BAD=∠CAD∠BAD=∠CAD,即角BAC被线段AD平分;

BDDC=ABACBDDC=ABAC,即平分线AD将对边BC分成两个相等的线段。

证明:

由角平分线的定义可知,∠BAD=∠CAD∠BAD=∠CAD。

作BE⊥AC,CF⊥AB,则有:

∵∠ABE=∠ACF=90∘∵∠ABE=∠ACF=90∘,

∴△ABE∼△ACF∴△ABE∼△ACF,

∴ABAC=BECF∴ABAC=BECF。

又因为∠BAE=∠CAF∠BAE=∠CAF(角平分线的定义),

∴△ABE∼△ACF∴△ABE∼△ACF中的∠ABE=∠ACF∠ABE=∠ACF,

∴△ABE≅△ACF∴△ABE≅△ACF(两个直角三角形,有一条斜边相等,另一条直角边相等),

∴BE=CF∴BE=CF。

又因为∠BDE=∠CDF=90∘∠BDE=∠CDF=90∘(垂线定理),

∴△BDE∼△CDF∴△BDE∼△CDF,

∴BDDC=BECF=ABAC∴BDDC=BECF=ABAC。

综上所述,角平分线定理得证。

角平分线定理

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