关于指数分布的期望和方差的知识点，福建头条网将为你整理了下面这些知识。
指数分布的概率密度函数为：f(x)={λe−λx,x≥00,x<0f(x)={λe−λx,x≥00,x<0
其中，λλ是分布的参数，表示单位时间内事件发生的平均次数。
指数分布的期望为： E(X)=1λE(X)=1λ
证明：
$$\begin{aligned} E(X) &= \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx \ &= \int_{0}^{\infty} x \lambda e^{-\lambda x} dx \ &= \left[-xe^{-\lambda x}\right]{0}^{\infty} + \int{0}^{\infty} e^{-\lambda x} dx \ &= 0 + \left[-\frac{1}{\lambda}e^{-\lambda x}\right]_{0}^{\infty} \ &= \frac{1}{\lambda} \end{aligned}$$
指数分布的方差为： Var(X)=1λ2Var(X)=1λ2
证明：
$$\begin{aligned} Var(X) &= E(X^2) - [E(X)]^2 \ &= \int_{-\infty}^{\infty} x^2 f(x) dx - \left(\frac{1}{\lambda}\right)^2 \ &= \int_{0}^{\infty} x^2 \lambda e^{-\lambda x} dx - \left(\frac{1}{\lambda}\right)^2 \ &= \left[-x^2 e^{-\lambda x}\right]{0}^{\infty} + \int{0}^{\infty} 2x e^{-\lambda x} dx - \left(\frac{1}{\lambda}\right)^2 \ &= 0 + \left[-\frac{2}{\lambda}xe^{-\lambda x}\right]{0}^{\infty} + \frac{2}{\lambda} \int{0}^{\infty} e^{-\lambda x} dx - \left(\frac{1}{\lambda}\right)^2 \ &= 0 + 0 + \frac{2}{\lambda^2} - \frac{1}{\lambda^2} \ &= \frac{1}{\lambda^2} \end{aligned}$$
因此，指数分布的期望为1λ1λ，方差为1λ21λ2。
